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Micron Document

<!DOCTYPE html>

<title>Module simple</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Module simple</span></h1>

</header>

</div>

<p>Un <a href="Module_sur_un_anneau" title="Module sur un anneau">module</a> <i>M</i> sur un <a href="Anneau_unitaire" title="Anneau unitaire">anneau</a> <i>A</i> est dit <b>simple</b> ou <b>irréductible</b> si <i>M</i> n'est pas le module nul et il n'existe pas de sous-modules de <i>M</i> en dehors de {0} et <i>M</i><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exemples">Exemples</h2></div>

<ul><li>Les <a href="Entier_relatif" title="Entier relatif">ℤ</a>-modules simples sont les <a href="Groupe_ab%C3%A9lien" title="Groupe abélien">groupes abéliens</a> <a href="Groupe_simple#Exemples" title="Groupe simple">simples</a>, c'est-à-dire les <a href="Groupe_cyclique" title="Groupe cyclique">groupes cycliques</a> d'<a href="Ordre_(th%C3%A9orie_des_groupes)" title="Ordre (théorie des groupes)">ordre</a> <a href="Nombre_premier" title="Nombre premier">premier</a>.</li>

<li>Les <a href="Espace_vectoriel" title="Espace vectoriel">espaces vectoriels</a> simples (sur un <a href="Corps_(math%C3%A9matiques)" title="Corps (mathématiques)">corps</a> non nécessairement <a href="Corps_commutatif" title="Corps commutatif">commutatif</a>) sont les <a href="Droite_vectorielle" title="Droite vectorielle">droites vectorielles</a>.</li>

<li>Étant donné un anneau <i>A</i> et <i>I</i> un idéal à gauche non nul de <i>A</i>, <i>I</i> est un <i>A</i>-module simple si et seulement si <i>I</i> est un idéal minimal à gauche.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Structure_des_modules_simples">Structure des modules simples</h2></div>

<p>Soient <i>A</i> un anneau unitaire et <i>M</i> un <i>A</i>-module simple.

</p>

<ul><li>Alors <i>M</i> est un <i>A</i>-<a href="Module_monog%C3%A8ne" title="Module monogène">module monogène</a>, engendré par n'importe quel élément non nul <i>x</i> de <i>M</i>. En effet, <i>Ax</i> est un sous-module non nul de <i>M</i>, donc c'est <i>M</i>. La réciproque est fausse, par exemple le ℤ-module ℤ est monogène (engendré par 1) mais pas simple.</li>

<li>Soit <i>x</i> un élément non nul <i>M</i>. Alors l'ensemble des éléments <i>a</i> de <i>A</i> tels que <i>ax</i> = 0 est un idéal à gauche maximal <i>I</i> de <i>A</i>, et l'application <i>a↦ax</i> de <i>A</i> dans <i>M</i> est <i>A</i>-linéaire, et par passage au quotient, définit un isomorphisme de <i>A</i>-modules de <i>A</i>/<i>I</i> sur <i>M</i>.</li>

<li>Réciproquement, pour tout idéal à gauche <i>J</i> de <i>A</i>, pour que le <i>A</i>-module <i>A</i>/<i>J</i> soit simple, il faut et il suffit que <i>J</i> soit un élément maximal de l'ensemble des idéaux à gauche de <i>A</i> différent de <i>A</i>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Propriétés"><span id="Propri.C3.A9t.C3.A9s"></span>Propriétés</h2></div>

<ul><li>Les modules simples sont les modules de <a href="Longueur_d'un_module" title="Longueur d'un module">longueur</a> 1.</li>

<li>Un module simple est un <a href="Module_ind%C3%A9composable" title="Module indécomposable">module indécomposable</a>, c'est-à-dire qu'il n'est pas isomorphe à une <a href="Somme_directe" title="Somme directe">somme directe</a> de deux modules non nuls. La réciproque est fausse : par exemple, les <a href="Groupe_ab%C3%A9lien_de_type_fini" title="Groupe abélien de type fini">ℤ-modules de type fini</a> indécomposables sont ℤ et les groupes cycliques d'ordre <a href="Nombre_primaire" title="Nombre primaire"><i>p<sup>n</sup></i> avec <i>p</i> premier et <i>n</i> > 0</a>.</li>

<li>Contrairement à ce qui se passe pour des <a href="Espace_vectoriel" title="Espace vectoriel">espaces vectoriels</a>, un module non nul peut ne pas posséder de sous-module simple. Par exemple, tous les sous-modules non nuls de ℤ sont isomorphes à ℤ donc non simples.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Lemme_de_Schur"><a href="Lemme_de_Schur" title="Lemme de Schur">Lemme de Schur</a></h2></div>

<p>Soient <i>A</i> un anneau, <i>M</i> et <i>N</i> des <i>A</i>-modules et <i>f</i> une application <i>A</i>-linéaire de <i>M</i> dans <i>N</i>. Si <i>M</i> est simple, alors <i>f</i> est soit nulle, soit <a href="Injection_(math%C3%A9matiques)" title="Injection (mathématiques)">injective</a> (en effet, le noyau de <i>f</i> est un sous-module de <i>M</i>, donc {0} ou <i>M</i>). Si <i>N</i> est simple, alors <i>f</i> est soit <a href="Surjective" class="mw-redirect" title="Surjective">surjective</a>, soit nulle (en effet, l'image de <i>f</i> est un sous module de <i>N</i>, donc {0} ou <i>N</i>)<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.

</p><p>Si un <i>A</i>-module est simple alors l'anneau de ses endomorphismes est un <a href="Corps_(math%C3%A9matiques)" title="Corps (mathématiques)">corps</a>, mais la réciproque est fausse : le ℤ-module ℚ n'est pas simple, et pourtant tout endomorphisme non nul du groupe abélien ℚ est inversible.

</p><p>Soient <i>K</i> un <a href="Corps_alg%C3%A9briquement_clos" title="Corps algébriquement clos">corps algébriquement clos</a>, <i>A</i> une <i>K</i>-algèbre de dimension finie non nulle et <i>M</i> un <i>A</i>-module simple. Alors l'anneau des endomorphismes de <i>A</i>-module de <i>M</i> est canoniquement isomorphe à <i>K</i>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références"><span id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Notes et références</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Berhuy2012">Berhuy 2012</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 7</span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Knapp2016"><span class="ouvrage" id="Anthony_W._Knapp2016"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Anthony W. <span class="nom_auteur">Knapp</span>, <cite class="italique" lang="en">Basic Algebra: Digital Second Edition</cite>, Anthony W. Knapp, <time>2016</time>, 735 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <span class="nowrap">978-1-4297-9998-0</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <span class=" noarchive nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.3792/euclid/9781429799980">10.3792/euclid/9781429799980</a></span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://projecteuclid.org/euclid.bia/1531879291">lire en ligne</a>)</small>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 559<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Basic+Algebra%3A+Digital+Second+Edition&rft.pub=Anthony+W.+Knapp&rft.aulast=Knapp&rft.aufirst=Anthony+W.&rft.date=2016&rft.pages=559&rft.tpages=735&rft.isbn=978-1-4297-9998-0&rft_id=info%3Adoi%2F10.3792%2Feuclid%2F9781429799980&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AModule+simple"></span></span></span></span>

</li>

</ol></div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Articles_connexes">Articles connexes</h3></div>

<ul><li><a href="Groupe_simple" title="Groupe simple">Groupe simple</a> : une définition analogue pour les groupes</li>

<li><a href="Module_semi-simple" title="Module semi-simple">Module semi-simple</a></li>

<li><a href="Anneau_simple" title="Anneau simple">Anneau simple</a></li>

<li>Théorème de densité de Jacobson <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobson_density_theorem" class="extiw external" title="en:Jacobson density theorem"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Jacobson density theorem »">(en)</span></a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliographie">Bibliographie</h3></div>

<ul><li><span class="ouvrage" id="Berhuy2012"><span class="ouvrage" id="Grégory_Berhuy2012">Grégory Berhuy, <cite class="italique">Modules : Théorie, pratique... et un peu d'arithmétique</cite>, Paris, Calvage & Mounet, <time class="nowrap" datetime="2012-07-12" data-sort-value="2012-07-12">12 juillet 2012</time>, 388 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <span class="nowrap">978-2-91-635225-1</span>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Modules+%3A+Th%C3%A9orie%2C+pratique...+et+un+peu+d%27arithm%C3%A9tique&rft.place=Paris&rft.pub=Calvage+%26+Mounet&rft.aulast=Berhuy&rft.aufirst=Gr%C3%A9gory&rft.date=2012-07-12&rft.tpages=388&rft.isbn=978-2-91-635225-1&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AModule+simple"></span></span></span></li></ul>

<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"></span></span> <span class="bandeau-portail-texte">Portail de l’algèbre</span> </span></li> </ul></div><div><div class="zim-footer">

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